Allar Kaasik aloitti musiikin opintonsa Pärnussa ja jatkoi Tallinnassa, Moskovassa ja Riikassa. Hän valmistui sellistiksi vuonna 1974. Allar Kaasik on toiminut sellistinä useissa eestiläisissä orkestereissa ja kokoonpanoissa. Hän on esiintynyt yhdessä useiden merkittävien muusikoiden kanssa. Hän on esiintynyt useiden orkesterien solistina eri puolilla Eurooppaa ja Pohjois-Amerikkaa. Useat säveltäjät ovat säveltäneet musiikkia hänelle, mukaan lukien Einojuhani Rautavaara, Urmas Sisask, Erkki-Sven Tüür ja monet muut. Erityisesti hän on työskennellyt säveltäjä Kuldar Sinkin kanssa. Allar Kaasik on David Oistrakh Festivalin taiteellinen johtaja vuodesta 1997 asti.

90-luvun alusta alkaen Allar Kaasik on työskennellyt Suomessa. Hän on opettanut Itä-Helsingin musiikkiopistossa ja Sibelius-Akatemiassa. Kallion Musiikkikoulussa Allar Kaasik on opettanut vuodesta 2014 alkaen.